乘法分配律是小学四年级学习的,学完四年级课程的同学们应该知道。乘法分配律是一个十分重要又不容易学的知识点,四年级的计算题所涉及到的运算定律、数的巧算等,都会贯穿到五年级上册小数计算以及下学期的分数计算中,除了考察学生的计算能力,更旨在培养学生的思维能力。在历届小学六年级的考试试题中,计算也占据了较大分值,是不可或缺的部分。可见学好简便运算在小学六年级的能力测试中占有多么重要的作用。而乘法分配律不仅在于简单的(a+b)×c=a·b+b·c,更需要同学们对数据仔细观察,找出藏在数与数之间的计算法则,下面我们就由简单的简便运算开始,教会同学们如何破解这些复杂计算的秘密。
一、 基础简便运算。
(一)、基本公式运用
(1)、基本公式:(a+b)×c=a·c+b·c
同学们对这个公式应该不陌生吧,最开始接触到乘法分配律的时候就学习到这个公式,而这个公式标志了我们整个四年级的学习重点。即解为两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变。
例 25×(400+4)
我们熟悉25×4=100,同理25×400=10000
所以原式可以根据乘法分配律分解为:25×400+25×4=10000+100=10100
即把原来复杂的25×404分解为简单的加法计算。
熟记了乘法分配律公式之后,下面我们再来看看根据公式演变出来的几种变型。
(2)、乘法分配律逆运算:a×c+b×c =(a+b)×c
两组乘法算式相加,如果两组中有相同的数,我们可以把相同的数提取出来,这个方法叫做提取公因式。
例 35×37+65×37
本题是求两个乘法算式“35×37”和“65×37”的加和,观察可发现两组乘法算式中有相同的数“37”,我们则可利用乘法分配律逆运算把“37”提取出来。得到37×(35+65) =37×100 =3700
即可把原来两个繁琐的两位数乘法化简为整百数的乘法。是不是简单了很多呢,同学们有没有发现,凡是利用运算定律进行简便运算的,最后的答案都不需要草稿纸,通过简单口算就可以计算出结果。
(二)、乘法分配律变型:
(1)变型1:a×b+a型。
在这个变型中,我们发现a并没有数与它相乘,但是我们知道一个数“乘以1”不会改变原数大小的,我们可以通过把“a×1”,来把这个变型变为基本公式类型题。
例 36×99+36
我们将第二个36“×1”,得到“36×99+36×1”,这时候我们就可以运用乘法分配律逆运算,很简单的把结果给计算出来了。
原式=36×99+36×1=36×(99+1)
所以,遇到形如“a×b+a”的乘法分配律变型,记得给第二个a找小伙伴“1”哦!
(2)变型2:a×99与a×101型。
这类变型涉及到我们三年级数学知识里的巧算“数的拆分”。仔细的同学可以发现,99和101都与整百数相近,而这时我们把99和101拆分成(100-1)和(100+1),即可把原式变为乘法分配律的基本类型进行计算了。
例 32×99=32×(100-1)=32×100-32×1=3200-32=3168
32×101=32×(100+1)=32×100+32×1=3232
解这种题目,要求同学们对数熟悉并且敏感,对于99、98、97、102、103之类的数,立刻想到可以通过整百数加减来拆分。
(3)变型3:① a×(b+c+d)=a×b+a×c+a×d
同样的,也有逆运算:② a×b+a×c+a×d=a×(b+c+d)。
两个乘法相加的运算大家都掌握了,三个乘法相加的运算也是运用相同的算理。①括号外的数分别与括号内的数相乘,再把乘得的积加起来。 ②每个乘法小组中,找出相同的数a,提取公因式把a提取出来,再把剩下的数依次放到括号里,注意中间连接的符号。
例 38×27+38×72+38×1
提取38出来,原式即可=38×(27+72+1)=38×100=3800
同学们有没有观察到,原题最后一个“38×1”,若把这里的“×1”省略掉,你会不会算呢?
想一想: 38×27+38×72+38 应该怎样简便运算?
(三)、乘法分配律运用到小数。
学习了前几种乘法分配律及其变型,相信大家对乘法分配律的基本运用已经掌握得很不错了。可是有同学学习到五年级的小数的计算时,又开始犯难了,我们接下来就来深度解析,如何解码藏在小数计算中的运算定律。
(1)基础题型。
所谓基础题型,就是和整数的几种类型相似,只是里面的部分整数换为小数。
例1:(1.25-0.125)×8
大家都熟悉的125×8=1000,相应的1.25×8;0.125×8都可以口算出答案。
因此,此题应该通过乘法分配律分配成:
1.25×8-0.125×8=10-1 =9
例2:27×3.7+3.7×73
一眼可以看到,两个乘法算式中共有的因数是3.7,因此我们通过提取公因式把3.7提取出来,一步即可使题目简单化。
原式=3.7×(27+73)=3.7×100=370
例3:8.4×101.3-8.4×1.3
此题中共有的因数是8.4,需要注意的是,两个乘法算式之间是用“减号”相连接,括号中也应该对应求两个数的差。
原式=8.4×(101.3-1.3)=8.4×100=840
同样的,如果只是题目中的部分整数被小数代替了,我们依旧可以套用以上的几种公式,对题目进行简便运算。这里就不再赘述。而某些特殊的不能套用公式的题型呢,下面我们来详细讲解。
(2)成倍数关系的公因式。
大家都知道,形如a×b+a×c=a×(b+c)的题型中,我们要在两个乘法算式中找相同的数提取出来,但是若没有相同的数,又该怎么办呢?先看一个实例:2.4×0.19+0.24×8.1,两组乘法算式中并没有完全相同的数,可是我们既需要运用乘法分配律,就需要把不同的数变化出相同的来。仔细观察,有没有发现2.4和0.24虽然不同,却存在倍数关系。这里谨慎的同学可能会问:若我们盲目的把数字扩大缩小,算式的结果不就会发生改变了吗?对的!这时我们又要运用到以前学过的,“积不变的性质”来解决。即“一个因数扩大或缩小若干倍(0除外),另一个因数缩小或扩大相同的倍数,积不变”。所以当我们把0.24的小数点向右移动一位,变为2.4的同时,把8.1缩小到原来的10(1),这一组乘法算式的积大小就不会被影响了。
例1.解题步骤分析: 2.4×0.19+0.24×8.1
①把不同变相同: =2.4×0.19+2.4×0.81……………积不变性质
②提取公因式: =2.4×(0.19+0.81)
=2.4×1
=2.4
例2. 解题步骤分析: 9999×7778+3333×6666 (9999是3333的3倍)
①把不同变相同: =9999×7778+3333×3×2222
=9999×7778+9999×2222
②提取公因式: =9999×(7778+2222)
=9999×10000
=99990000
观察上面两道例题,请同学们试着用简便方法计算 9999×2222+3333×3334。
学懂了以上几种题型,同学们对乘法分配律运算的掌握应该上升到一个新的台阶了,可是小学六年级的题型中,经常会综合几种类型来考察大家的举一反三能力。比如:
例1:解题步骤分析: 18.8×10.1-1.88
①把单独的数找到“小伙伴” =18.8×10.1-1.88×1……有两个因数时才可运用积不变性质进行改变。
②把不同变相同: =18.8×10.1-18.8×0.1
③提取公因式: =18.8×(10.1-0.1)
=18.8×10
=188
例2:解题步骤分析: 161.2×9.9+16.12
①把单独的数找到“小伙伴” =161.2×9.9+16.12×1
②把不同变相同: =161.2×9.9+161.2×0.1
③提取公因式: =161.2×(9.9+0.1)
=161.2×10
=1612
以上例题分析几乎涵盖了小学数学中整数乘法分配律的所有类型,和乘法分配律在小数计算中的运用。但是实际试题还会根据这些基本类型进行不同的综合和变型,不仅仅旨在考察同学们的基础能力,还需要同学们富有较强的观察能力,例如类似“0.69×0.46+6.9×0.053+0.0069”的综合题,经过今天的学习,同学们可以动动小脑筋,思考一下。课堂上的讲解,主要在于把散乱的题分类给大家进行讲解,大家在学习后应该多做类似的练习,让自己在面对这类题目时更得心应手。当然,小学数学的计算类型远远不止这些,五年级下学期之后,乘法分配律还会拓展到分数计算当中,小数分数的混合运算会有更多的变型,而小学六年级主要以什么样的形式来考察大家呢?小数分数的混合运算又有什么计算技巧呢?在新东方小学数学一对一的课堂,我们将会针对不同的计算分类进行系统复习,使同学们对各种计算有更清晰的认识,让大家面对复杂的数字,繁琐的步骤,不再胆怯。